Коэффициент размножения нейтронов k — отношение числа нейтронов последующего поколения к числу в предшествующем поколении во всём объеме размножающей нейтроны среды (активной зоны ядерного реактора). В общем случае, этот коэффициент может быть найден с помощью формулы четырёх сомножителей:

, где

• k₀ — коэффициент размножения в бесконечной среде;
• μ — Коэффициент размножения на быстрых нейтронах;
• φ — Вероятность избежать резонансного захвата;
• θ — Коэффициент использования тепловых нейтронов;
• η — Выход нейтронов на одно поглощение.

Общие сведения

В основе работы реактора лежит размножение частиц — нейтронов. Величина коэффициента размножения показывает, как изменяется полное число нейтронов в объёме активной зоны за время среднего цикла обращения нейтрона.

Каждый нейтрон, участвующий в цепной реакции, проходит несколько этапов: рождение в реакции деления, свободное состояние, далее либо потеря, либо вызов нового деления и рождения новых нейтронов.

Критическое состояние реактора характеризуется значением k = 1. Если k < 1, то состояние делящегося вещества считается подкритическим, а цепная реакция быстро затухает. В случае, если в начале процесса свободных нейтронов не было, цепная реакция не может возникнуть вообще. Состояние вещества, когда k > 1, называется надкритическом, а цепная реакция быстро нарастает. Этот процесс продолжается, пока по каким-либо причинам k не уменьшится до 1 или ниже.

В реальных веществах тяжелые ядра могут делиться самопроизвольно, поэтому небольшое количество свободных нейтронов есть всегда, и короткие цепные реакции протекают в делящемся веществе постоянно. Также такие реакции могут быть запущены частицами, приходящими их космоса. По этой причине, как только k превышает единицу, например, достигается необходимая критическая масса, немедленно запускается процесс лавинообразного развития цепной реакции.

Ядерный реактор

Основная статья: Ядерный реактор

Контролируемая реакция цепного деления ядер используется в ядерных реакторах. В процессе работы реактора, делящееся вещество поддерживается в критическом состоянии с помощью введения в активную зону дополнительного количества делящегося вещества, либо увеличения объема веществ, поглощающих нейтроны. Часть реактора, в которой происходит процесс выделения энергии от цепных реакций деления ядер, называется активной зоной.

Критические параметры

Приведение коэффициента размножения к единице достигается регулировкой баланса появления новых нейтронов и их потерями. Под потерей здесь понимается случай, когда нейтрон не вызывает нового деления. Потери могут происходить двумя путями — выход нейтрона за пределы делящегося вещества, или поглощение без деления. Утечки нейтронов из активной зоны зависят от её формы и конструкции, в то время как потери при поглощении определяются составом и соотношением количества веществ. В природе существует также β-распад нейтронов, но им можно пренебречь благодаря большому времени жизни свободного нейтрона (≈10³ сек) по сравнению со временем нейтронного цикла в активной зоне реактора.

Таким образом, определение условий k=1 разбивается на в части:

1. Определение коэффициента размножения в бесконечной среде k₀ при условии, что потерь нейтронов за пределы делящегося вещества не происходит. В случае, если k₀ оказывается меньше единицы, то самоподдержавающаяся цепная реакция в данной среде невозможна в принципе;
2. Учет ограниченных размеров реальной активной зоны, так как в конечной среде потери нейтронов по определению будут больше, чем в бесконечной.

Таким образом, если k₀ > 1, то всегда существует объём конечных размеров, в котором может быть достигнуто условие

    (1),

где w есть вероятность избежать нейтрону утечки из конечного объема. Доля нейтронов, потерянных вследствие утечки, будет равна 1−w. Так как w зависит от геометрических размеров зоны (чем меньше конечный объем, тем меньше площадь поверхности, через которую может произойти утечка), при k₀ > 1 всегда можно подобрать такие размеры активной зоны, при которых k = 1. Размеры, соответствующие этому условию, называются критическими размерами, а масса делящегося вещества в критическом объеме — критической массой.

С другой стороны, при известных размерах активной зоны (и, соответственно, w), задача расчета параметров реактора сводится к определению состава среды с необходимым k₀.

Развитие цепной реакции деления во времени

Изменение числа нейтронов в некритическом реакторе можно найти по формуле:

(2)

где  — время нейтронного цикла.

То есть, если в какой-то момент времени в реакторе есть n нейтронов, то через их количество будет kn, а разница составит .

Решение уравнения (2) даёт зависимость числа нейтронов от времени

(3)

где n₀ — число нейтронов в момент t = 0.

В реакторе

Для реакторов на тепловых нейтронах время нейтронного цикла достигает =10⁻³ сек. Если принять k=1,01, то всего через секунду количество нейтронов возрастет в  раз, а, соответственно и выделение энергии в реакторе. Однако, для реальных реакторов такая оценка является завышенной, так как не учитывает запаздывание нейтронов.

При взрыве

Если взять чистые делящееся вещества, для них время нейтронного цикла имеет порядок 10⁻⁸ сек. Например, для урана и k=1,1 количество нейтронов увеличится в 10²⁶ раз за время , что всего через 6 мксек после начала реакции соответствует делению примерно 40 кг урана в единицу времени нейтронного цикла, а за все 6 мксек составит уже 400 кг. Такое мгновенное энерговыделение представляет собой ядерный взрыв. Энергия, выделяющаяся при делении 1 кг урана, равна энергии, получаемой при взрыве 20 000 тонн тринитротолуола ТНТ.

Нейтронный цикл

Рассмотрим деление ядер ²³⁵U тепловыми нейтронами. В результате такого деления появляется n быстрых нейтронов очередного поколения. Примерно половина этих нейтронов имеет необходимую энергию для вызова деления ядра ²³⁸U, что в результате дает примерно 2,8 новых быстрых нейтронов. Фактор, показывающий, во сколько раз увеличивается число нейтронов деления ²³⁵U вследствие дополнительного деления ²³⁸U, называется коэффициентом размножения на быстрых нейтронах.

В целом, развитию цепной реакции препятствует также резонансный захват нейтронов, характеризуемый величиной, называемой вероятностью избежать резонансного захвата. При резонансном захвате происходит поглощение нейтрона ядром атома без последующего деления. Обычно резонансный захват происходит на веществах, отличных от основного делящегося материала, поэтому наличие таких материалов стараются свести к минимуму. Однако, полностью избежать этого невозможно, так как невозможно исключить, например, наличие ²³⁸U, попадающего в реактор вместе с ²³⁵U. Также в процессе работы реактора нарабатываются другие вещества, обладающие заметным резонансным захватом, например, ²³⁹Pu, а затем ²⁴⁰Pu.

Быстрые и промежуточные нейтроны слабо поглощаются ядрами атомов. Исключение составляет только поглощение в низко расположенных резонансах ядер средних и больших массовых чисел. Несмотря на то что ширины резонансов Г много меньше среднего сброса энергии при замедлении ξE и большинство замедляющихся нейтронов никогда не имеет энергию, совпадающую с энергией резонансов, резонансное поглощение всё же оказывается существенным. Это объясняется как очень большими величинами сечений захвата при резонансных энергиях, так и снижением ξE при замедлении, определяющем возрастание плотности потока Ф при малых энергиях.

Если нет утечки, все тепловые нейтроны поглощаются ядрами атомов среды в активной зоне. Частично это происходит при резонансном захвате, частично при делении ²³⁵U. Так как в гетерогенных реакторах соотношение этих величин существенно зависит от места в элементарной ячейке, где эти параметры определяются, Доля нейтронов, поглощённых веществом, определяется коэффициентом теплового использования θ, а доля этих нейтронов, вызвавших при этом деление ²³⁵U, обозначим через х. Нетрудно видеть, что нейтроны следующего поколения порождаются только этой величиной.

Формула четырёх сомножителей

Пусть в результате каждого деления выделяется в среднем ν быстрых нейтронов. Таким образом, по прошествии времени нейтронного цикла, n нейтронов превратится в nμφθxν нейтронов следующего поколения. Таким образом, по определению:

В реальных расчетах величина х самостоятельно не употребляется. Вместо неё используется формула

,

которая представляет собой число вторичных нейтронов, приходящихся на один поглощённый тепловой нейтрон в материале топлива. С учетом сказанного, в тепловом реакторе k₀ можно найти как:

,

которая называется формулой четырёх сомножителей.

Литература

• Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. М. Атомиздат, 1971.
• Левин В. Е. Ядерная физика и ядерные реакторы. 4-е изд. — М.: Атомиздат, 1979.
• Петунин В. П. Теплоэнергетика ядерных установок М.: Атомиздат, 1960.