Метод k-средних (англ. k-means) — наиболее популярный метод кластеризации. Был изобретён в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом^[1] и почти одновременно Стюартом Ллойдом^[2]. Особую популярность приобрёл после работы Маккуина^[3].

Действие алгоритма таково, что он стремится минимизировать суммарное квадратичное отклонение точек кластеров от центров этих кластеров:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{j}\in S_{i}}(x_{j}-\mu _{i})^{2}}$

где ${\displaystyle k}$ — число кластеров, ${\displaystyle S_{i}}$ — полученные кластеры, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k}$ и ${\displaystyle \mu _{i}}$ — центры масс векторов ${\displaystyle x_{j}\in S_{i}}$.

По аналогии с методом главных компонент центры кластеров называются также главными точками, а сам метод называется методом главных точек^[4] и включается в общую теорию главных объектов, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию данных^[5].

Алгоритм

Алгоритм представляет собой версию EM-алгоритма, применяемого также для разделения смеси гауссиан. Он разбивает множество элементов векторного пространства на заранее известное число кластеров k.

Основная идея заключается в том, что на каждой итерации перевычисляется центр масс для каждого кластера, полученного на предыдущем шаге, затем векторы разбиваются на кластеры вновь в соответствии с тем, какой из новых центров оказался ближе по выбранной метрике.

Алгоритм завершается, когда на какой-то итерации не происходит изменения центра масс кластеров. Это происходит за конечное число итераций, так как количество возможных разбиений конечного множества конечно, а на каждом шаге суммарное квадратичное отклонение V не увеличивается, поэтому зацикливание невозможно.

Как показали Дэвид Артур и Сергей Васильвицкий, на некоторых классах множеств сложность алгоритма по времени, нужному для сходимости, равна ${\displaystyle 2^{\Omega ({\sqrt {n}})}}$.^[6]

Демонстрация алгоритма

Действие алгоритма в двумерном случае. Начальные точки выбраны случайно.

Проблемы k-means

• Не гарантируется достижение глобального минимума суммарного квадратичного отклонения V, а только одного из локальных минимумов.
• Результат зависит от выбора исходных центров кластеров, их оптимальный выбор неизвестен.
• Число кластеров надо знать заранее.

Расширения и вариации

Широко известна и используется нейросетевая реализация K-means — сети векторного квантования сигналов (одна из версий нейронных сетей Кохонена).

Существует расширение k-means++, которое направлено на оптимальный выбор начальных значений центров кластеров.

Применение для задач глубокого обучения и машинного зрения

В алгоритмах глубокого обучения метод k-средних иногда применяют не по прямому назначению (классификация разбивкой на кластеры), а для создания так называемых фильтров (ядер свёртки, словарей). Например, для распознавания изображений в алгоритм k-средних подают небольшие случайные кусочки изображений обучающей выборки, допустим, размером 16х16 в виде линейного вектора, каждый элемент которого кодирует яркость своей точки. Количество кластеров k задается большим, например 256. Обученный метод k-средних при определенных условиях вырабатывает при этом центры кластеров (центроиды), которые представляют собой удобные базисы, на которые можно разложить любое входное изображение. Такие "обученные" центроиды в дальнейшем используют в качестве фильтров, например для свёрточной нейронной сети в качестве ядер свёртки или других аналогичных систем машинного зрения^[8]. Таким образом осуществляется обучение без учителя при помощи метода k-средних.

Ссылки