Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных

Теорема

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция многих переменных:

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов, как от параметров. То есть численное значение в общем случае зависит от тех же переменных , что и оригинальная функция :

Если функция окажется достаточно гладкой, то мы можем и ее продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому, или по другому аргументу :

Если , то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы

Для достаточно гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

• 3. Поскольку для фиксированных индексов все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент является константой, то функция (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения на , то есть будем рассматривать такую ​​функцию двух переменных:

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

Пусть в точке существует смешанная производная:

Предположим, что смешанная производная существует в точке , а также существует первая производная вдоль (горизонтальной) прямой

Далее, разница производных равна производной от разницы, поэтому превращаем формулу (9) в:

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разница дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разницу в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определенного интеграла от производной:

Нужно, чтобы существовала частная производная вдоль прямой

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

Как видно, надо, чтобы частная производная существовала не только на прямой , но в некоторой двухмерной окрестности точки .

Далее, разница интегралов равна интегралу от разности, причем под знак интеграла можно внести постоянный множитель

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разница интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

Средняя точка является функцией:

значения которой лежат в интервале (если, например, )

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной в некоторой двухмерной окрестности точки .

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке :

Смешанная производная существует в двухмерной окрестности точки и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13).

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое является константой по переменной интегрирования , то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берется как интеграл от константы:

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмем произвольное положительное число . Непрерывность смешанной производной в точке означает, что существует такое положительное число , что для каждой точки внутри квадрата справедливо неравенство:

Если мы возьмем положительные числа , то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

Обозначим это слагаемое

Аналогично (если взять ), имеем оценку снизу:

Поскольку положительное число может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует . Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, ) в точке, а также существование второй смешанной производной в двумерной окрестности точки и ее непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной вдоль отрезка прямой , и существование производной в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование в точке следует из двух фактов: (а) существует производная вдоль отрезка прямой , проходящей через точку , (б) смешанная производная существует и непрерывна в этой точке./

Пример

Рассмотрим функцию

Где функция Дирихле равна нулю в рациональных точках и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой и разрывная во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

а также одна из смешанных производных:

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой :

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

Как видим, для точек прямой условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример

Рассмотрим функцию двух переменных

где буквами обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задает непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат . Мы можем доопределить функцию в начале координат

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя ):

Покажем, что для этой доопределённой функции смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные . Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции в точке плоскости, отличной от начала координат ():

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

Аналогично

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

Аналогичное вычисление даёт:

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

Упрощенное доказательство для аналитических функций

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдем первые производные:

Повторное дифференцирование (38) и (39) дает одну и ту же формулу для обоих смешанных производных:

См. также

• Смешанная частная производная

Литература

• Hazewinkel Michiel Encyclopaedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104
• Kleinert H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation. — World Scientific, 2008. — ISBN 978-981-279-170-2