Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Утверждает, что ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил, действующих на тела системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему^[1][2].

Объектами, о которых идёт речь в теореме, могут, в частности, являться следующие:

• система материальных точек;
• протяжённое тело или система протяжённых тел;
• вообще любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание утверждения теоремы о движении центра масс системы, формулируется следующим образом^[1]:

Доказательство

Пусть система состоит из материальных точек с массами и радиус-векторами . Как известно^[1][3], центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка, радиус-вектор которой удовлетворяет равенству

где — масса всей системы, равная

Дифференцируя (1) два раза по времени, для ускорения центра масс получаем:

где — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения целесообразно разделить все силы, действующие на тела системы, на два типа:

• Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
• Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать . Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться . Из сказанного очевидно, что если , то

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

Суммируя все уравнения вида (3), получим:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, из (4) следует

Далее, обозначив и подставив полученное выражение в (2), приходим к уравнению

или к

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Формула (6) является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Другая формулировка теоремы

Обратим внимание на то, что вид формулы (6) в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс^[1][3]:

Закон сохранения движения центра масс

Из (6) следует, что в отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Значение

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается уравнением (6). Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

История

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно»^[4]. Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их»^[4].

См. также

• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении количества движения системы

Примечания