Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами. Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Обозначение углов

В математических выражениях углы часто обозначают греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Чтобы избежать путаницы с числом Пи, символ π, как правило, не используется для этой цели. Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, ...).

Угловая мера

Угол измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L, в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Два вертикальных угла равны.

Центральные и вписанные углы окружности.

В зависимости от величины углы разделяются на:

• Острые (от 0 до 90°)
• Прямые (90°)
• Тупые (от 90° до 180°)
• Косые (не равные 90° или 180°)
• Развёрнутые (180°)
• Невыпуклые (от 180° до 360°)
• Полные (360°)

Вариации и обобщения

Величиной ориентированного угла между прямыми и (обозначение: ) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую так, чтобы она стала параллельна прямой . При этом углы, отличающиеся на , считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми и не равен ориентированному углу между прямыми и (они составляют в сумме или, что по нашему соглашению то же самое, ). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) ; б) ; в) точки , не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда .

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Измерение углов

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир; как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более точного измерения углов разработано много высокоточных инструментов:

• Гониометр — использовался в области судоходства, для определение положения судна в море или океане
• Теодолит
• Секстант — применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение и на судах
• Посох Якова — один из первых инструментов для астрономических наблюдений, служащий для измерения углов.

Литература

Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с. — ISBN 9785090038546