Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

• функция называется возраста́ющей на , если

.

• функция называется стро́го возраста́ющей на , если

.

• функция называется убыва́ющей на , если

.

• функция называется стро́го убыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

• Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Функция называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
• Функция называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала, таких что , справедливо .
• Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда

  не убывает на тогда и только тогда, когда

  не возрастает на тогда и только тогда, когда

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда

  если то строго возрастает на

  если то строго убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры

• Функция строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка является стационарной, т.е. в этой точке .
• Функция является строго возрастающей не только на открытом интервале , но и на замкнутом интервале .
• Экспонента строго возрастает на всей числовой прямой.
• Константа одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Примечания